당신은 휴가를 맞아 여행을 가기로 하였습니다. 비록 휴가는 일주일 밖에 안되지만, 욕심이 많은 당신은 이집트, 스페인, 네덜란드 3개국의 카이로, 알렉산드리아, 바르셀로나, 그라나다, 마드리드, 암스테르담, 헤이그 7개 도시를 방문하려고 합니다. 각 도시들 사이에는 직행 비행기로 이동할 수 있다고 할 때, 쾌적한 여행을 즐길 수 있도록 도시를 중복 방문하는 일 없이 최단 거리 여행 계획을 짜보세요!

당신은 지도를 펴놓고 고민하기 시작합니다. 당신은 한 도시에서 다른 도시로 넘어갈 때 근처에 있는 도시를 먼저 방문하는 것이 최단 경로를 줄이는 방법이라는 것을 알고 있습니다. 따라서 도시들을 어떤 순서로 방문해야 쾌적한 여행을 즐길 수 있는지 그다지 고민하지 않고 결정할 수 있습니다. 하지만 이 문제를 컴퓨터에게 풀게 한다면, 컴퓨터는 한 도시를 방문한 후 어떤 도시를 방문해야 쾌적한 여행이 될지 결정할 수 없습니다. 따라서 도시를 중복 방문하지 않는 수많은 여행 코스¹ 를 모두 비교하여 최단 코스가 무엇인지 찾아내야 할 겁니다.

이와 같이, 어떤 알고리즘을 수행하는데 있어 한 단계에서 다음 단계로 진행할 때 여러 선택권을 가질 수 있는 문제들을 NP (Non-deterministic in Polynomial time) 문제라고 합니다².

위의 그림처럼, NP 문제는 크게 P 문제와 NP-Complete 문제로 나눌 수 있습니다. P 문제는 결정적인(deterministic) 알고리즘을 사용하여 적절한 시간 (polynomial time) 안에 해결할 수 있는 문제입니다. 반면에 NP-Complete 문제들은 비결정적인(non-deterministic) 알고리즘으로는 적절한 시간 내에 해결할 수 있지만, 결정적인 알고리즘으로는 적절한 시간 안에 해답을 얻을 수 있는 방법을 찾지 못한 문제들 입니다. NP-Compete 문제들의 특징은 해결 방법이 없는 것이 아니라, 해결 방법이 있지만 입력의 크기가 커질수록 계산복잡도가 엄청나게 커진다는 것입니다³. 그래서 NP-Complete 문제들은 보통 다음의 세 접근 방법을 통해 해결합니다.

• Approximate algorithm: 적절한 범위 내에서 차선의(suboptimal) 해결책을 구하는 알고리즘입니다.
• Probabilistic algorithm: 문제의 입력의 확률 분포에 대하여 평균적으로 좋은 성능을 보이는 알고리즘입니다.
• Heuristic algorithm: 대부분의 경우에 잘 동작하지만, 항상 최선의 결과를 얻는다는 보장은 없는 알고리즘입니다.

NP 문제에서 단연 최고의 이슈가 되고 있는 것은 ‘P=NP?’ 입니다. (이 문제는 용의자 X의 헌신에도 나왔었죠.) 즉, ‘NP에 속하는 모든 문제는 결정적인 알고리즘을 사용하여 적절한 시간 내에 해결할 수 있다.’ 라는 명제가 참인지 거짓인지를 판명하는 것입니다. 만약 이 명제가 참이 된다면, 모든 NP-Complete 문제들은 쉽게 해결할 수 있는 방법이 있다는 것이 되므로 엄청난 센세이션을 불러일으키게 되겠죠. 현재는 ‘P 문제는 NP 문제가 될 수 있다.’ 라는 명제가 참이라는 것까지 증명된 상태입니다. (Denis Shasha, 1995)

NP-Complete 문제들은 정말 상당히 흥미로운 것들이 많습니다. 그 중에서도, 그래프는 본연의 구조적 특성 때문에 일반적으로 연산이 굉장히 복잡해서, 상당히 많은 NP-Complete 문제들이 있습니다. 다음엔 그래프에서의 NP-Complete 문제들에 대해 포스팅해보겠습니다.

NP 문제와 관련된 추천 사이트

• Graph of NP-Complete Problems: NP-Complete 문제들을 그래프로 보여줍니다.
• Gödel’s Lost Letter and P=NP: 조지아 텍 교수인 Dick Lipton의 블로그입니다. 알고리즘에 관한 흥미로운 글이 많이 올라옵니다.

1. 7개의 도시를 중복되지 않게 방문하므로, 총 방법의 수는 6! = 720개가 됩니다.
2. NP 문제의 정의는 비결정적인 알고리즘(non-deterministic algorithm)을 사용하여 적절한 시간(polynomial time) 내에 해결이 가능한 문제입니다.
3. 일반적으로 NP-Complete 문제들의 계산복잡도는 sⁿ 에 비례합니다. 여기서 s는 상수, n은 입력의 크기

이 알고리즘은 외부 루프와 내부 루프로 구성된다. 외부 루프는 몇몇의 엔트리로 구성되며, 외부 루프의 각 엔트리마다 내부 루프가 수행된다.

예)

이 SQL문은 다음과 같이 수행된다.

Nested loop join의 수행에 포함되는 단계들은 다음과 같다.

1) 외부 테이블 확인한다 (identify).

2) 내부 테이블을 외부 테이블에 할당한다.

3) 외부 테이블의 각 행마다 내부 테이블의 전체 행들을 접근한다.

Optimizer는 언제 nested loop join을 사용하는가?

효율적인 join 조건으로 적은 수의 행을 담고 있는 테이블을 조인할 때 optimizer가 nested loop join을 사용한다. 외부 테이블의 각 행 마다 매번 내부 테이블의 전체 행을 확인하기 때문에 내부 테이블을 색인하는 것이 중요하다.

다음의 경우에는 nested loop join을 사용하지 않는다.

1. 조인하려는 테이블들의 크기가 클 때
2. 내부 질의가 항상 같은 결과를 낼 때
3. 내부 테이블의 접근 경로가 외부 테이블의 데이터에 독립적일 때

2. Hash join

Hash join은 큰 데이블을 조인할 때 사용된다. Optimizer는 2개의 테이블 중 더 작은 테이블을 사용하여 메모리에 해쉬 테이블을 생성하고, 큰 테이블 전체를 스캔하면서 해쉬 값을 비교한다.

Hash join 알고리즘은 다음의 두 단계로 구성된다.

1. Build 단계: 두 테이블 중 더 작은 테이블로 해쉬 테이블을 메모리에 생성한다.
2. Probe 단계: 큰 테이블을 스캔하면서 해쉬 값을 비교하여 join 되는 행을 찾는다.

간단하게 알고리즘을 적으면 다음과 같다.

Build 단계

Probe 단계

Optimizer는 언제 hash join을 사용하는가?

Optimizer는 조인하려는 테이블의 크기가 큰 경우에 사용한다. Nested loop와 다르게, hash join은 해쉬 테이블 생성 후에 join이 이루어지기 때문에 결과가 즉시 나오지 않는다.

3. Sort merge join

Sort merge join은 두 개의 독립적인 데이터 소스를 조인하는 경우에 사용된다. 이 방법은 일반적으로 데이터의 크기가 큰 경우에 nested loop보다 성능이 좋지만 hash join만큼 좋지는 않다.

이 방법이 hash join보다 좋을 때는 join 조건으로 사용되는 열이 이미 정렬되어 있거나 정렬될 필요가 없을 때이다.

알고리즘은 다음과 같다.

중요한 점은 외부 테이블의 행의 개수만큼 내부 테이블에 접근하여야 하는 nested loop join과는 다르게, sort merge join 알고리즘은 테이블의 각 행을 단 한 번씩만 접근한다. 따라서 데이터의 크기가 클 때 nested loop join보다 더 좋은 성능을 보인다.

Optimizer는 언제 sort merge join을 사용하는가?

1. join 조건이 부등 조건일 경우 (<, <=, >=)에 사용한다. hash join은 부등 조건에 사용될 수 없고, 데이터의 크기가 큰 경우 nested loop join은 고려의 대상이 아니다.
2. “order by”와 같이, 만약 어떤 속성에 대하여 항상 정렬해야하는 경우, hash join보다 sort merge join이 더 좋은 성능을 보이기 때문에 optimizer는 sort merge join을 사용한다.